入試過去問 / 大阪大学 2026年度数学(理系)

第4問区間が縮んでいく定積分の極限

極限定積分はさみうち不等式

出典大阪大学令和8年度前期数学(理系) 第4問

問題文は大阪大学が公表した試験問題からの引用です。解答・解説はtelvia演習ラボが作成したもので、大阪大学が公表したものではありません。

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問題

実数 $x$ に対して $f (x) = e^{- x} cos x$ とする．ただし， $e$ は自然対数の底である．

(1) $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ のとき，不等式 $1 - x ≦ f (x) ≦ 1$ が成り立つことを示せ．

(2) $0 < a ≦ \frac{π}{2}$ をみたす実数 $a$ に対して

$I (a) = \int_{0}^{a} \frac{( x + a ) f ( x )}{x ^{2} + a ^{2}} d x$

とするとき， $a \to + 0 lim I (a)$ を求めよ．

(配点率 20 %)

ヒントを見る

(1) の左側は、差をとって微分すると符号が分かる。(2) は区間も分母も $a$ で縮む。 $x = a u$ とおいて区間を $0$ から $1$ に固定すると、 $a$ はどこに残るか。

解答・解説

方針

(1) は $f (x) - (1 - x)$ を微分して増加を示す。(2) は (1) の不等式で $f (x)$ を $1$ と $1 - x$ ではさみ、 $x = a u$ と置換して区間を $[0, 1]$ に固定する。はさんだ両側の積分が同じ値に近づくことを示す。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1) は、差の関数をつくって微分し、増減で符号を調べる、よくある形だ。

(2) は、 $a \to + 0$ で積分区間は縮むが、分母 $x^{2} + a^{2}$ も小さくなるので、積分が $0$ に近づくとは限らない。そこで $x = a u$ と置きかえて区間を $0$ から $1$ に固定する。 $f (x)$ は (1) で $1$ と $1 - x$ にはさめるので、はさみうちで極限が求まる。

① (1) 右側の不等式。 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ で $0 < e^{- x} ≦ 1$ 、 $0 ≦ cos x ≦ 1$ なので、 $f (x) = e^{- x} cos x ≦ 1$ 。

② (1) 左側の不等式。 $h (x) = f (x) - (1 - x)$ とおくと $h (0) = 0$ で

$h^{'} (x) = - e^{- x} (cos x + sin x) + 1$

$k (x) = e^{- x} (cos x + sin x)$ とおくと $k (0) = 1$ 、 $k^{'} (x) = - e^{- x} (cos x + sin x) + e^{- x} (cos x - sin x) = - 2 e^{- x} sin x ≦ 0$ なので、 $k (x) ≦ 1$ 。よって $h^{'} (x) = 1 - k (x) ≧ 0$ で、 $h$ は増加し、 $h (x) ≧ h (0) = 0$ 。すなわち $1 - x ≦ f (x)$ である。

0≦x≦π/2 で、y=e^(−x)cos x(青)は直線 y=1 と y=1−x のあいだにある。x=0 の近くでは、この3つがほとんど重なる

③ (2) 積分をはさむ。 $0 ≦ x ≦ a ≦ \frac{π}{2}$ では $\frac{x + a}{x ^{2} + a ^{2}} > 0$ なので、(1) の不等式にこれを掛けて積分できる。

$\int_{0}^{a} \frac{( x + a ) ( 1 - x )}{x ^{2} + a ^{2}} d x ≦ I (a) ≦ \int_{0}^{a} \frac{x + a}{x ^{2} + a ^{2}} d x$

④ 右辺を計算する。 $x = a u$ とおくと $d x = a d u$ 、 $x : 0 \to a$ は $u : 0 \to 1$ に対応する。

$K = \int_{0}^{a} \frac{x + a}{x ^{2} + a ^{2}} d x = \int_{0}^{1} \frac{a ( u + 1 )}{a ^{2} ( u ^{2} + 1 )} \cdot a d u = \int_{0}^{1} \frac{u + 1}{u ^{2} + 1} d u$

$a$ が消えて、 $a$ によらない値になる。

$\int_{0}^{1} \frac{u}{u ^{2} + 1} d u = [\frac{1}{2} lo g (u^{2} + 1)]_{0}^{1} = \frac{1}{2} lo g 2$

$\int_{0}^{1} \frac{d u}{u ^{2} + 1}$ は $u = tan θ$ と置換すると( $u : 0 \to 1$ は $θ : 0 \to \frac{π}{4}$ )、 $d u = \frac{d θ}{cos ^{2} θ}$ 、 $u^{2} + 1 = \frac{1}{cos ^{2} θ}$ なので

$\int_{0}^{1} \frac{d u}{u ^{2} + 1} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ = \frac{π}{4}$

よって $K = \frac{π}{4} + \frac{1}{2} lo g 2$ 。

⑤ 左辺と右辺の差。 左辺は $K - \int_{0}^{a} \frac{x ( x + a )}{x ^{2} + a ^{2}} d x$ である。同じ置換で

$\int_{0}^{a} \frac{x ( x + a )}{x ^{2} + a ^{2}} d x = a \int_{0}^{1} \frac{u ( u + 1 )}{u ^{2} + 1} d u$

$0 ≦ u ≦ 1$ では $u (u + 1) = u^{2} + u ≦ u^{2} + 1$ なので、被積分関数は $1$ 以下で、この積分は $a$ 以下である。したがって

$K - a ≦ I (a) ≦ K$

定理はさみうちの原理

$a \to + 0$ で左辺も $K$ に近づくので

$a \to + 0 lim I (a) = \frac{π}{4} + \frac{1}{2} lo g 2$

まとめ:区間と分母が一緒に縮む積分は、 $x = a u$ と置いて区間を固定すると $a$ の役割が見える。 $f (x)$ を (1) の不等式ではさむと、上からの積分は $a$ によらない値になり、下からの積分との差は $a$ 以下になる。

発展。 $a \to + 0$ では $f$ が $x = 0$ の近くの値しか使われないので、極限は $f (0) \int_{0}^{1} \frac{u + 1}{u ^{2} + 1} d u$ に等しくなる。 $f$ を $0$ で連続な別の関数に取りかえても、極限は $f (0) (\frac{π}{4} + \frac{1}{2} lo g 2)$ になる。重み $\frac{x + a}{x ^{2} + a ^{2}}$ が、区間の幅によらず一定の「総量」をもつことがこの計算の背景にある。

答

(1) 解答を参照(証明) (2) $\frac{π}{4} + \frac{1}{2} lo g 2$

別解

別解:(2) を、 $f$ が減少することを使ってはさむ。 $f^{'} (x) = - e^{- x} (cos x + sin x)$ は $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ で $0$ 以下なので、 $f$ はこの区間で減少する。したがって $0 ≦ x ≦ a$ では

$f (a) ≦ f (x) ≦ f (0) = 1$

重み $\frac{x + a}{x ^{2} + a ^{2}} > 0$ を掛けて積分すると、本解の $K$ を使って

$f (a) K ≦ I (a) ≦ K$

$a \to + 0$ で $f (a) \to f (0) = 1$ なので、 $I (a) \to K = \frac{π}{4} + \frac{1}{2} lo g 2$ 。(1) の左側の不等式を使わずに、 $f$ の連続性と増減だけで同じ結果が得られる。

ポイント

$h (x) = f (x) - (1 - x)$ の導関数は $1 - e^{- x} (cos x + sin x) ≧ 0$ 。
$x = a u$ で区間を $[0, 1]$ に固定すると、 $\int_{0}^{a} \frac{x + a}{x ^{2} + a ^{2}} d x = \int_{0}^{1} \frac{u + 1}{u ^{2} + 1} d u$ は $a$ によらない。
下からの積分との差は $a$ 以下になり、はさみうちで極限は $\frac{π}{4} + \frac{1}{2} lo g 2$ 。

よくある間違い

積分区間が $0$ に縮むから $I (a) \to 0$ と考えてしまう。分母 $x^{2} + a^{2}$ も $0$ に近づくので、被積分関数は大きくなる。
$x = a u$ の置換で $d x = a d u$ の $a$ を掛け忘れ、極限を $0$ や $\infty$ と誤る。
$\int_{0}^{1} \frac{d u}{1 + u ^{2}}$ を置換 $u = tan θ$ で計算するとき、区間の対応( $u : 0 \to 1$ が $θ : 0 \to \frac{π}{4}$ )を書き忘れる。

第4問 区間が縮んでいく定積分の極限

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第4問区間が縮んでいく定積分の極限