第5問 さいころの目でつくる分数が整数になる確率

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x$ が整数になるのは、分母 $3abc$ が分子 $(a+b+c{)}^2$ を割り切るときだ。すべての目の組 $216$ 通りを調べるのは大変なので、割り切れるための必要な条件で候補を絞る。

最大の数が $m$ なら、分母には $3m$ が含まれる。分子 $(a+b+c{)}^2$ が $3m$ の倍数になることから、$a+b+c$ が何の倍数かが決まり、候補がほとんど残らない。

① (1) $a=b=c$ のとき。

$$x=\frac{(3a{)}^2}{3a^3}=\frac{3}{a}$$

これが整数になるのは $a=1,3$ のとき。$216$ 通りのうち $2$ 通りなので、確率は $\frac{2}{216}=\frac{1}{108}$。

② (2) $m=6$ のとき、候補を絞る。 3つの目のうち1つは $6$ である。$6$ でない2つを $p,q$ とし、目の組を $\{p,q,6\}$ とみる($p,q$ が $6$ でもよい)。$x$ が整数なら、$(p+q+6{)}^2$ は $3\cdot 6pq=18pq$ の倍数で、特に $18$ の倍数である。

$(p+q+6{)}^2$ が $2$ の倍数なら $p+q+6$ も $2$ の倍数、$9$ の倍数なら $p+q+6$ は $3$ の倍数なので、$p+q+6$ は $6$ の倍数、つまり $p+q$ は $6$ の倍数だ。$2\leqq p+q\leqq 12$ なので $p+q=6$ または $12$。

③ 候補を確かめる。

• $p+q=12$ なら $p=q=6$ で、$x=\frac{18^2}{3\cdot 216}=\frac{1}{2}$。整数でない。
• $p+q=6$ なら分子は $12^2=144$ で、$18pq$ が $144$ を割り切るのは $pq$ が $8$ を割り切るとき。$p+q=6$ の組 $(1,5),(2,4),(3,3)$ で $pq=5,8,9$ なので、$\{p,q\}=\{2,4\}$ だけが条件を満たす。このとき $x=\frac{144}{144}=1$。

よって目の組は $2,4,6$ で、出る順番を考えると $3!=6$ 通り。確率は $\frac{6}{216}=\frac{1}{36}$。

④ (3) $m$ が偶数になる場合の数。 最大の数が $k$ になるのは、3つとも $k$ 以下で、3つとも $k-1$ 以下ではないときなので $k^3-(k-1{)}^3$ 通り。

$$m=2:8-1=7,m=4:64-27=37,m=6:216-125=91$$

合わせて $135$ 通り。

⑤ $m=4,2$ で $x$ が整数になる場合。 $m=4$ のとき、② と同じく目の組を $\{p,q,4\}$($p,q\leqq 4$)とすると、$(p+q+4{)}^2$ は $12$ の倍数で、$p+q+4$ は $6$ の倍数。$2\leqq p+q\leqq 8$ なので $p+q=2$ または $8$。

• $p+q=8$ なら $p=q=4$ で、$x=\frac{12^2}{3\cdot 64}=\frac{3}{4}$。整数でない。
• $p+q=2$ なら $p=q=1$ で、$x=\frac{6^2}{3\cdot 4}=3$。整数になる。

目の組 $1,1,4$ の並べ方は $3$ 通り。

$m=2$ のとき、目の組を $\{p,q,2\}$($p,q\leqq 2$)とすると、$(p+q+2{)}^2$ は $6$ の倍数で、$p+q+2$ は $6$ の倍数。$2\leqq p+q\leqq 4$ なので $p+q=4$、$p=q=2$ で、$x=\frac{6^2}{3\cdot 8}=\frac{3}{2}$。整数にならない。

⑥ 条件つき確率。 $m$ が偶数で $x$ が整数になるのは $6+3=9$ 通りなので

$$\frac{9}{135}=\frac{1}{15}$$

まとめ:分母に含まれる $3m$ で割り切れることから $a+b+c$ が $6$ の倍数に絞られ、候補は数個しか残らない。残りを1つずつ確かめ、並べ方の数を掛けて数えた。

発展。 さいころの目の範囲で $x$ が整数になる組は、並べかえを除くと $(1,1,1)$、$(1,1,4)$、$(1,2,3)$、$(2,4,6)$、$(3,3,3)$ の5つだけである。3つの数を同じ倍率 $\lambda$ で大きくすると、$x$ は $\frac{1}{\lambda }$ 倍になる。$(1,2,3)$ で $x=2$ だから $(2,4,6)$ では $x=1$、$(1,1,1)$ で $x=3$ だから $(3,3,3)$ では $x=1$ と、組が2つずつ対応している。

別解

別解:(2) を表で確かめる。 $c=6$ として、$a,b$ を $1$ から $6$ まで並べた $6\times 6$ の表をつくる。本解と同じ理由で $a+b$ は $6$ の倍数でなければならないので、調べるのは表の斜めの線 $a+b=6$ と、右上の角 $a=b=6$ の6か所だけになる。

その6か所で $x=\frac{(a+b+6{)}^2}{18ab}$ を計算すると、整数になるのは $(a,b)=(2,4),(4,2)$ の2か所。$6$ が出るのは1回目、2回目、3回目のどれでもよく、$2,4,6$ はすべて異なるので、並べ方は全部で $3!=6$ 通りになる。本解と同じ $\frac{6}{216}=\frac{1}{36}$ である。

表にすると、割り切れる条件がどれだけ候補を減らしているかが一目で分かる。$36$ か所のうち、確かめる必要があるのは6か所だけだ。