大阪大学 2026年度 数学(理系) 令和8(2026)年度 一般選抜 前期日程

座標平面において，$y=x-x^3$ で表される曲線を $C$ とする．実数 $s$ に対して，$C$ 上の点 $(s,s-s^3)$ における $C$ の接線を ${\ell }_s$ で表す．$t$ を $0<t<1$ をみたす実数とするとき，${\ell }_0$ と ${\ell }_1$ の交点を $\mathrm{P}$，${\ell }_0$ と ${\ell }_t$ の交点を $\mathrm{Q}$，${\ell }_1$ と ${\ell }_t$ の交点を $\mathrm{R}$ とし，三角形 $\mathrm{PQR}$ の面積を $S(t)$ とする．

(1) $S(t)$ を $t$ の式で表せ．

(2) 実数 $t$ が $0<t<1$ の範囲を動くとき，$S(t)$ を最大にする $t$ の値と，$S(t)$ の最大値を求めよ．

(配点率 20 %)

空間内に $4$ 点 $\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ があり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$ である．また，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}=90^{\circ }$，$\angle \mathrm{BOC}=60^{\circ }$ である．$t$ を正の実数とし，点 $\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(2t+1)\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ をみたす点とする．点 $\mathrm{P}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=-1$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=1$ をみたしていて，さらに $4$ 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{P}$ は同一平面上にある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とおく．

(1) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ と $t$ を用いて表せ．

(2) 実数 $t$ が $t>0$ の範囲を動くとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$ を最小にする $t$ の値と，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$ の最小値を求めよ．

(配点率 20 %)

$a$ を実数とし，複素数 $z$ に対して

$$f(z)=\frac{(1-ai)z+(1+ai)\overline{z}}{2}$$

とする．ただし，$i$ は虚数単位，$\overline{z}$ は $z$ と共役な複素数である．

(1) $f(z)$ は実数であることを示せ．

(2) 実数 $a$ に対して，$|z|=1$ かつ

$$f(z)\{f(z)-f(i)-2\}=-2f(i)$$

となるような複素数 $z$ の個数を $N(a)$ とする．$N(a)$ を求めよ．

(配点率 20 %)

実数 $x$ に対して $f(x)=e^{-x}\cos x$ とする．ただし，$e$ は自然対数の底である．

(1) $0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ のとき，不等式 $1-x\leqq f(x)\leqq 1$ が成り立つことを示せ．

(2) $0<a\leqq \frac{\pi }{2}$ をみたす実数 $a$ に対して

$$I(a)={\int }_0^a\frac{(x+a)f(x)}{x^2+a^2}dx$$

とするとき，$\underset{a\to +0}{\lim }I(a)$ を求めよ．

(配点率 20 %)

さいころ $1$ 個を $3$ 回連続して投げ，$1$ 回目に出た目を $a$，$2$ 回目に出た目を $b$，$3$ 回目に出た目を $c$ とする．このとき，$a$，$b$，$c$ のなかで最大の数を $m$ とおき，$x=\frac{(a+b+c{)}^2}{3abc}$ とおく．

(1) $a=b=c$ であって，$x$ が整数である確率を求めよ．

(2) $m=6$ であって，$x$ が整数である確率を求めよ．

(3) $m$ が偶数であったとき，$x$ が整数である条件つき確率を求めよ．

(配点率 20 %)