第3問 単位円上の複素数が満たす方程式の解の個数

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1) は、$(1+ai)\overline{z}$ が $(1-ai)z$ の共役複素数になっていることに気づけばよい。ある複素数とその共役の和は実数である。

(2) は $z=x+yi$ とおくと、$f(z)$ は $x+ay$ という実数の1次式になる。すると方程式は $f(z)$ についての2次方程式になり、因数分解できる。単位円と直線の共有点を数える問題に変わる。

① (1) 共役の和で書く。 $w=(1-ai)z$ とおくと、$a$ は実数なので $\overline{w}=(1+ai)\overline{z}$。したがって

$$f(z)=\frac{w+\overline{w}}{2}$$

で、これは $w$ の実部に等しく、実数である。

② (2) $f(z)$ を $x,y$ で表す。 $z=x+yi$($x,y$ は実数)とおくと

$$(1-ai)(x+yi)=(x+ay)+(y-ax)i$$

なので、$f(z)=x+ay$ である。特に $z=i$($x=0,y=1$)では $f(i)=a$ になる。

③ 方程式を因数分解する。 $f=f(z)$ とおくと、方程式は

$$f(f-a-2)=-2a⟺f^2-(a+2)f+2a=0⟺(f-2)(f-a)=0$$

よって、$|z|=1$ で $x+ay=2$ または $x+ay=a$ を満たす $z$ を数えればよい。

④ 単位円と直線の共有点。 直線 $x+ay=c$ と原点の距離は $\frac{|c|}{\sqrt{1+a^2}}$ なので、単位円 $x^2+y^2=1$ との共有点は、この距離が $1$ より小さければ $2$ 個、$1$ なら $1$ 個、$1$ より大きければ $0$ 個である。

• 直線 $x+ay=a$:距離は $\frac{|a|}{\sqrt{1+a^2}}<1$ なので、いつも $2$ 個。この直線は点 $(0,1)$、つまり $z=i$ を通る。
• 直線 $x+ay=2$:距離は $\frac{2}{\sqrt{1+a^2}}$ で、$a^2>3$ なら $2$ 個、$a^2=3$ なら $1$ 個、$a^2<3$ なら $0$ 個。

⑤ 2本の直線が重なる場合。 2本の直線はどちらも $x+ay=(\text{定数})$ の形で平行だ。定数が等しい $a=2$ のときだけ同じ直線になり、共有点は合わせて $2$ 個。それ以外では2本は交わらないので、共有点の個数はそのまま足せる。

⑥ まとめて答える。

$$N(a)=\{\begin{array}{ll}2& (|a|<\sqrt{3}\text{または}a=2)\\ 3& (a=\pm \sqrt{3})\\ 4& (|a|>\sqrt{3},a\ne 2)\end{array}$$

まとめ:$f(z)$ は複素数とその共役の和の半分なので実数になる。(2) は $f(z)=x+ay$ として方程式を因数分解し、単位円と2本の平行な直線の共有点を数えた。2本の直線が重なる $a=2$ を見落とさない。

発展。 $f(z)$ は $z$ に $1-ai$ を掛けて(原点のまわりに回して $\sqrt{1+a^2}$ 倍して)実部をとったものである。$|z|=1$ のとき、$f(z)$ は $-\sqrt{1+a^2}$ 以上 $\sqrt{1+a^2}$ 以下の値をとり、両端の値は1回、途中の値は2回ずつとる。この見方を使うと、個数の数え方がさらに短くなる(別解)。

別解

別解:$f(z)$ がとる値の範囲から数える。 $|z|=1$ のとき、$z=\cos \theta +i\sin \theta$ とおくと

$$f(z)=\cos \theta +a\sin \theta =\sqrt{1+a^2}\sin (\theta +\gamma )$$

($\gamma$ は $a$ で決まる角)と合成できる。$\theta$ が $0\leqq \theta <2\pi$ を1周すると、$f(z)$ は $-\sqrt{1+a^2}$ 以上 $\sqrt{1+a^2}$ 以下の値をとり、端の値は1回、途中の値は2回ずつとる。

方程式は $f(z)=2$ または $f(z)=a$。$|a|<\sqrt{1+a^2}$ なので値 $a$ はいつも途中の値で、$2$ 回。値 $2$ は、$2<\sqrt{1+a^2}$($a^2>3$)なら $2$ 回、$2=\sqrt{1+a^2}$ なら $1$ 回、それ以外は $0$ 回。$a=2$ のときは2つの値が同じなので、重ねて数えない。こうして本解と同じ $N(a)$ が得られる。