第2問 内積と平面の条件で決まる点までの距離の最小

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 点 $\mathrm{P}$ は3つの条件(2つの内積の値と、平面 $\mathrm{ADE}$ 上にあること)で決まる。$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は同じ平面上にないので、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ はこの3つで1通りに表せる。未知の係数3つを3つの条件で決めればよい。

平面 $\mathrm{ADE}$ 上にあることは、「3点 $\mathrm{A},\mathrm{D},\mathrm{E}$ の位置ベクトルに、和が $1$ になる係数を掛けて足した形」で表せる。

① 内積の値。 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ で

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=0,\vec{a}\cdot \vec{c}=0,\vec{b}\cdot \vec{c}=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$$

② 平面 $\mathrm{ADE}$ 上の点。

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t\vec{b}$、$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(2t+1)\vec{c}$ なので

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\vec{a}+yt\vec{b}+z(2t+1)\vec{c}$$

③ 内積の条件を使う。 $\vec{a}$ との内積をとると、① より $\vec{a}$ の係数だけが残る。

$$\vec{a}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=x=-1$$

$\vec{b}$ との内積は

$$\vec{b}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=yt+\frac{z(2t+1)}{2}=1$$

④ 係数を決める。 $x=-1$ と $x+y+z=1$ から $y=2-z$。これを代入して

$$(2-z)t+\frac{z(2t+1)}{2}=1⟺2t+\frac{z}{2}=1⟺z=2-4t$$

よって $y=4t$。係数は

$$yt=4t^2,z(2t+1)=(2-4t)(2t+1)=2-8t^2$$

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=-\vec{a}+4t^2\vec{b}+(2-8t^2)\vec{c}$$

$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\vec{a}=-2\vec{a}+4t^2\vec{b}+(2-8t^2)\vec{c}$$

⑤ (2) 大きさの2乗を展開する。 $\vec{a}$ は $\vec{b},\vec{c}$ と垂直なので、$\vec{a}$ を含む交差項は消える。

$$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}{|}^2=4+(4t^2{)}^2+(2-8t^2{)}^2+2\cdot 4t^2(2-8t^2)\cdot \frac{1}{2}$$

$$=4+16t^4+(4-32t^2+64t^4)+(8t^2-32t^4)=48t^4-24t^2+8$$

⑥ 最小値。 $T=t^2$($T>0$)とおくと

$$48T^2-24T+8=48{\left(T-\frac{1}{4}\right)}^2+5$$

$T=\frac{1}{4}$、つまり $t=\frac{1}{2}$ のとき最小値 $5$ をとる。よって $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$ は $t=\frac{1}{2}$ で最小になり、最小値は $\sqrt{5}$。

まとめ:1次独立な3つのベクトルで $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を表し、「平面上」を係数の和が $1$ という式にした。内積の条件は垂直な関係のおかげで係数を直接取り出せる。最小値は $t^2$ の2次関数として求めた。

発展。 $t=\frac{1}{2}$ のとき $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=-\vec{a}+\vec{b}$ で、$\vec{c}$ の係数が $0$ になる。$\mathrm{P}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ でつくる平面 $\mathrm{OAB}$ の上にあり、しかも直線 $\mathrm{AD}$ の延長上にある。別解で見るように、$\mathrm{P}$ の動ける範囲は平面 $\mathrm{OAB}$ に垂直な直線で、その直線と $\mathrm{A}$ の距離が最小値になっている。

別解

別解:座標を置き、2つの内積の条件が表す図形を見る。 $\vec{a}=(1,0,0)$、$\vec{b}=(0,1,0)$、$\vec{c}=\left(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ とおくと、問題の条件をすべて満たす。$\mathrm{P}(p,q,r)$ とすると、2つの内積の条件は

$$\vec{a}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=p=-1,\vec{b}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=q=1$$

つまり $\mathrm{P}$ は点 $(-1,1,0)$ を通り $z$ 軸に平行な直線の上にある。この直線は $\vec{a},\vec{b}$ を含む平面($z=0$)に垂直だ。平面 $\mathrm{ADE}$ 上にあるという条件は、この直線上のどの点かを決める($r$ を決める)役目をもつ。

$\mathrm{A}(1,0,0)$ からこの直線上の点 $(-1,1,r)$ までの距離は

$$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\sqrt{(-2{)}^2+1^2+r^2}=\sqrt{5+r^2}\geqq \sqrt{5}$$

で、等号は $r=0$、つまり $\mathrm{P}=(-1,1,0)$ のとき。この点が平面 $\mathrm{ADE}$ 上にあるような $t$ があるかを確かめる。$z=0$ の平面上にある $\mathrm{A},\mathrm{D}$ を通る直線は $(1-\lambda ,\lambda t,0)$ と表せて、$1-\lambda =-1$ から $\lambda =2$、$2t=1$ から $t=\frac{1}{2}$。よって $t=\frac{1}{2}$ で最小値 $\sqrt{5}$ をとる。

(1) の式を使わなくても、最小値と、そのときの $t$ が分かる。