第1問 3次関数の3本の接線がつくる三角形の面積の最大

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 3本の接線の交点を求めて面積を計算する。接線の式は、傾きと切片が $s$ の式になる形に整理しておくと交点が出しやすい。

${\ell }_0$ は $y=x$ で、$\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ はどちらもこの直線の上にある。$\mathrm{PQ}$ を底辺にすると、高さは $\mathrm{R}$ から直線 $y=x$ までの距離になり、点と直線の距離の公式で簡単に書ける。

① 接線の式。 $y^{\prime }=1-3x^2$ なので

$${\ell }_s:y=(1-3s^2)(x-s)+s-s^3=(1-3s^2)x+2s^3$$

よって ${\ell }_0:y=x$、${\ell }_1:y=-2x+2$、${\ell }_t:y=(1-3t^2)x+2t^3$ である。

② 3つの交点。

• $\mathrm{P}$(${\ell }_0$ と ${\ell }_1$):$x=-2x+2$ より $x=\frac{2}{3}$。$\mathrm{P}\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ で、$t$ によらない。
• $\mathrm{Q}$(${\ell }_0$ と ${\ell }_t$):$x=(1-3t^2)x+2t^3$ より $3t^{2}x=2t^3$、$x=\frac{2t}{3}$。$\mathrm{Q}\left(\frac{2t}{3},\frac{2t}{3}\right)$。
• $\mathrm{R}$(${\ell }_1$ と ${\ell }_t$):$-2x+2=(1-3t^2)x+2t^3$ より $3(t^2-1)x=2(t^3-1)$。$t\ne 1$ で割って

$$x_{\mathrm{R}}=\frac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)},y_{\mathrm{R}}=-2x_{\mathrm{R}}+2$$

③ 底辺と高さ。 底辺 $\mathrm{PQ}$ は直線 $y=x$ の上にあり、$x$ 座標の差が $\frac{2}{3}(1-t)$ なので、長さは $\frac{2\sqrt{2}}{3}(1-t)$。高さは $\mathrm{R}$ から直線 $x-y=0$ までの距離で

$$x_{\mathrm{R}}-y_{\mathrm{R}}=3x_{\mathrm{R}}-2=\frac{2(t^2+t+1)}{t+1}-2=\frac{2t^2}{t+1}>0$$

より、高さは $\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2t^2}{t+1}$。よって

$$S(t)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}(1-t)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2t^2}{t+1}=\frac{2t^2(1-t)}{3(1+t)}$$

④ (2) 増減を調べる。 $S(t)=\frac{2}{3}\cdot \frac{t^2-t^3}{1+t}$ を微分する。

$${\left(\frac{t^2-t^3}{1+t}\right)}^{\prime }=\frac{(2t-3t^2)(1+t)-(t^2-t^3)}{(1+t{)}^2}=\frac{2t(1-t-t^2)}{(1+t{)}^2}$$

$0<t<1$ で $2t>0$ なので、符号は $1-t-t^2$ で決まる。$t^2+t-1=0$ の正の解は $t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$($0<t<1$ にある)で、これより小さい $t$ で正、大きい $t$ で負。よって $S(t)$ は $t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ で最大になる。

⑤ 最大値。 このとき $t^2=1-t$ なので、$t^2(1-t)=(1-t{)}^2$ と書ける。

$$S=\frac{2(1-t{)}^2}{3(1+t)},1-t=\frac{3-\sqrt{5}}{2},1+t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

$(1-t{)}^2=\frac{14-6\sqrt{5}}{4}=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ だから

$$S=\frac{2}{3}\cdot \frac{7-3\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{(7-3\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}{4}=\frac{2}{3}\cdot \frac{10\sqrt{5}-22}{4}=\frac{5\sqrt{5}-11}{3}$$

まとめ:接線を $y=(1-3s^2)x+2s^3$ の形にして交点を出し、$t$ によらない点 $\mathrm{P}$ を通る ${\ell }_0$ を底辺にとった。高さは点と直線の距離で1行になる。最大値の計算は $t^2=1-t$ を使って次数を下げると短く済む。

発展。 最大にする $t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\fallingdotseq 0.618$ は黄金比 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ の逆数である。$u=1+t$ とおいて $S$ を $u$ の式に直すと、$S^{\prime }=0$ の条件は $u^3-2u^2+1=0$、つまり $(u-1)(u^2-u-1)=0$ となり、黄金比を解にもつ2次方程式 $u^2-u-1=0$ が現れる。

別解

別解:(1) を、動かない点 $\mathrm{P}$ を頂点とする2辺と間の角で出す。 $\mathrm{P}$ は $t$ によらず $\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ にあり、$\mathrm{Q}$ は ${\ell }_0$ 上、$\mathrm{R}$ は ${\ell }_1$ 上を動く。そこで $S=\frac{1}{2}\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{PR}\sin \angle \mathrm{QPR}$ を使う。

${\ell }_0$ の向きは $(1,1)$、${\ell }_1$ の向きは $(1,-2)$ なので

$$\mathrm{PQ}=\sqrt{2}\left(\frac{2}{3}-\frac{2t}{3}\right)=\frac{2\sqrt{2}}{3}(1-t),\mathrm{PR}=\sqrt{5}\left(x_{\mathrm{R}}-\frac{2}{3}\right)=\sqrt{5}\cdot \frac{2t^2}{3(t+1)}$$

2直線の傾き $1$ と $-2$ から、なす角 $\theta$ は $\tan \theta =\left|\frac{-2-1}{1+1\cdot (-2)}\right|=3$、よって $\sin \theta =\frac{3}{\sqrt{10}}$。

$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}(1-t)\cdot \frac{2\sqrt{5}{t}^2}{3(t+1)}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{2t^2(1-t)}{3(1+t)}$$

本解と同じ式になる。$\mathrm{Q}$ と $\mathrm{R}$ がそれぞれ決まった直線の上を動くことが、式の形に表れている。