群数列の解き方(第n群の最初の項と、何群の何番目か)

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年11月9日

数列をいくつかずつ区切り、それぞれを群とよぶ数列を群数列といいます。群数列の問題を解く手がかりは、「第 $n$ 群までに何項あるか」を表す式です。この1つの式から、第 $n$ 群の最初の項、ある項が何群の何番目にあるか、群ごとの和が順に求められます。

手順1: 第 $n$ 群までの項数を式にする

例として、自然数を次のように区切った群数列を考えます。

$$1|2,3,4|5,6,7,8,9|10,\dots$$

第 $k$ 群は $2k-1$ 個の項からなります。第 $n$ 群までの項数は $\sum _{k=1}^n(2k-1)=n^2$ です。

この式から、第 $n-1$ 群までの項数は $(n-1{)}^2$ です。第 $n$ 群の最初の項は全体の $(n-1{)}^2+1$ 番目の項で、この例では項の値と番号が一致するので、第 $n$ 群の最初の項は $(n-1{)}^2+1=n^2-2n+2$ になります。

群数列で最も誤りが多いのは、第 $n$ 群までの項数と第 $n-1$ 群までの項数の混同です。$n=1,2,3$ を代入して、実際の区切りと一致するかを確認する習慣をつけてください。$n=2$ なら、第1群までの項数は $1$ で、第2群の最初の項は $2$ 番目の項の $2$ です。

手順2: ある項が何群の何番目かを不等式で特定する

ある番号の項や値が何群に属するかは、次の不等式を満たす $n$ を求めて特定します。

$$(\text{第 }n-1\text{ 群までの項数})<(\text{その項の番号})\le (\text{第 }n\text{ 群までの項数})$$

上の例で、$100$ が何群にあるかを考えます。$(n-1{)}^2<100\le n^2$ を満たす $n$ は、$9^2=81<100\le 10^2$ から $n=10$ です。第9群までに $81$ 項あるので、$100$ は第10群の $100-81=19$ 番目になります。第10群の項数は $2\cdot 10-1=19$ なので、$100$ は第10群の最後の項です。

この不等式では、等号の位置に注意が必要です。番号が第 $n$ 群までの項数にちょうど等しいとき、その項は第 $n$ 群の最後の項で、第 $n+1$ 群の最初の項ではありません。

手順3: 群の和と、途中までの和

第 $n$ 群の和は最初の項・項数・最後の項から求めます。上の例の第 $n$ 群は $(n-1{)}^2+1$ から $n^2$ までの $2n-1$ 個の連続した整数です。等差数列の和の公式から、和は次のようになります。

$$\frac{(2n-1)\{(n-1{)}^2+1+n^2\}}{2}=(2n-1)(n^2-n+1)$$

$n=2$ なら $3\cdot 3=9$ で、$2+3+4=9$ と一致します。

「初項から第 $N$ 項までの和」は、完全に含まれる群の和の合計と、最後の群の途中までの和に区切って計算します。

値 $k$ が $k$ 個ずつ並ぶ数列 $1|2,2|3,3,3|\dots$ で、第 $100$ 項と、初項から第 $100$ 項までの和を求めてみます。第 $n$ 群までの項数は $\frac{n(n+1)}{2}$ で、$\frac{13\cdot 14}{2}=91<100\le 105=\frac{14\cdot 15}{2}$ から、第 $100$ 項は第14群にあり、値は $14$ です。和は第13群までの和 $\sum _{k=1}^{13}k\cdot k=819$ と、第14群の最初の $100-91=9$ 項の和 $9\cdot 14=126$ の合計で、$945$ になります。

区切りが問題文に明記されていないとき

分数や数の組を規則的に配列した数列では、区切りが問題文に明記されていないことがあります。分母や成分の和のように、ある量が等しい項を1つの群とみなすと、群数列として扱えます。

区切りを自分で設定する問題では、どの量が群の番号を表し、どの量が群の中での順番を表すかを、最初に答案に明記してください。そのあとの手順は上の手順1から3と同じです。最難関編の分数を並べた群数列が、この型の問題です。

つまずきやすいところ

群数列の誤りの大半は番号の1つのずれです。第 $n$ 群までの項数を $S(n)$ とすると、第 $n$ 群の最初の項は $S(n-1)+1$ 番目、最後の項は $S(n)$ 番目です。求めた式に $n=1,2$ を代入して、実際の数列と照合してから次の計算を開始してください。

もう1つは、不等式 $S(n-1)<N\le S(n)$ の等号の位置の誤りです。等号を左側に付けると、群の最後の項を次の群の最初の項と誤認します。

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数列の標準の群数列、応用の群数列(奇数の群)、難関の群数列(自然数を群に分ける)で、ここまでの手順を練習できます。$\sum$ の計算は数列の和の求め方を参照してください。