第4問 正方形を含む正三角形の1辺の最小値

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 正方形を含む正三角形は、3辺をそれぞれ平行に内側へずらして小さくできる。3辺とも正方形に触れるまでずらしたものが、その向きでいちばん小さい正三角形だ。

大きさを測るには、「正三角形の内部の点から3辺までの距離の和は、高さに等しい」ことを使う。正方形の中心から3辺までの距離は正方形と辺の向きだけで決まるので、高さが角度の式で書ける。あとは向きを動かして最小を探す。

① 3辺が正方形に触れる場合に絞る。 三角形は凸なので、4つの頂点が入れば正方形全体が入る。正方形を含む正三角形の各辺を、向きを変えずに内側へずらし、正方形に触れたところで止める。3本の直線の向きは変わらないので、できる図形も正三角形で、もとより小さいか同じ大きさである。よって、3辺とも正方形に触れる正三角形の中から最小のものを探せばよい。

② 中心から辺までの距離。 正方形の中心を原点、辺を座標軸に平行にとる。外向きの単位法線ベクトルが $(\cos \varphi ,\sin \varphi )$ の直線が正方形に外から触れるとき、原点からその直線までの距離は、4頂点 $\left(\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2}\right)$ と法線ベクトルの内積の最大値で

$$h(\varphi )=\frac{|\cos \varphi |+|\sin \varphi |}{2}$$

③ 正三角形の高さを $\varphi$ で表す。 3辺の外向きの法線の向きは $\varphi ,\varphi +\frac{2\pi }{3},\varphi +\frac{4\pi }{3}$ である。

(点と3頂点を結んで3つの三角形に分け、面積を足すと分かる。)原点は正三角形の内部にあるので、高さ $H$ は

$$H(\varphi )=h(\varphi )+h\left(\varphi +\frac{2\pi }{3}\right)+h\left(\varphi +\frac{4\pi }{3}\right)$$

1辺の長さは $\frac{2}{\sqrt{3}}H(\varphi )$ なので、$H(\varphi )$ の最小を求めればよい。

④ 周期を使って $\varphi$ の範囲を絞る。 $g(\varphi )=|\cos \varphi |+|\sin \varphi |$ は周期 $\frac{\pi }{2}$ をもつ。$\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}$、$\frac{4\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$ なので

$$H(\varphi )=\frac{1}{2}\left\{g(\varphi )+g\left(\varphi +\frac{\pi }{6}\right)+g\left(\varphi +\frac{\pi }{3}\right)\right\}$$

右辺は $\varphi$ を $\frac{\pi }{6}$ ずらしても、同じ3つの値の和になる($g\left(\varphi +\frac{\pi }{2}\right)=g(\varphi )$ のため)。よって $0\leqq \varphi \leqq \frac{\pi }{6}$ で調べればよい。

⑤ 三角関数の和を1つにまとめる。 $0\leqq \varphi \leqq \frac{\pi }{6}$ では、3つの角 $\varphi ,\varphi +\frac{\pi }{6},\varphi +\frac{\pi }{3}$ はどれも $0$ 以上 $\frac{\pi }{2}$ 以下なので、絶対値が外れて $g(\theta )=\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ となる。$\psi =\varphi +\frac{5\pi }{12}$ とおくと、3つの項は $\sqrt{2}\sin \left(\psi -\frac{\pi }{6}\right),\sqrt{2}\sin \psi ,\sqrt{2}\sin \left(\psi +\frac{\pi }{6}\right)$ で、

$$\sin \left(\psi -\frac{\pi }{6}\right)+\sin \left(\psi +\frac{\pi }{6}\right)=2\sin \psi \cos \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\sin \psi$$

より

$$H(\varphi )=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\sqrt{3})\sin \psi$$

⑥ 最小値。 $\psi$ は $\frac{5\pi }{12}$ から $\frac{7\pi }{12}$ まで動く。この範囲は $\frac{\pi }{2}$ について対称なので、$\sin \psi$ は両端で最小値 $\sin \frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ をとる。

$$H_{\min }=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\sqrt{3})\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{(1+\sqrt{3}{)}^2}{4}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$$

よって1辺の長さの最小値は

$$\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

最小になるのは $\varphi =0$(または $\frac{\pi }{6}$)のときで、正方形の1辺が正三角形の1辺の上にある配置である。実際、1辺 $1+\frac{2}{\sqrt{3}}$ の正三角形の底辺に正方形を置くと、高さ $1$ のところの三角形の幅は $\left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)-\frac{2}{\sqrt{3}}=1$ で、上の2頂点がちょうど斜めの辺に乗る。

まとめ:正三角形を、3辺が正方形に触れるまで縮めた。中心から3辺までの距離の和(高さ)を向き $\varphi$ の関数で表し、周期で範囲を絞ると三角関数の和が1つにまとまる。最小は正方形の1辺を底辺に置いたときだった。

発展。 高さが最大になるのは $\psi =\frac{\pi }{2}$、つまり $\varphi =\frac{\pi }{12}$ のときで、1辺は $\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{2}\fallingdotseq 2.231$ になる。最小の $1+\frac{2\sqrt{3}}{3}\fallingdotseq 2.155$ との差は約 $3.5\%$ で、正方形の向きによる違いはそれほど大きくない。

別解

別解:最小の位置を上に凸であることから見つける。 ⑤ の変形をしなくても、$g(\theta )=\cos \theta +\sin \theta$ が $0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}$ で上に凸(グラフが山形)であることから、最小の位置が分かる。実際 $g^{\prime \prime }(\theta )=-(\cos \theta +\sin \theta )<0$ である。

$0\leqq \varphi \leqq \frac{\pi }{6}$ では、3つの角 $\varphi ,\varphi +\frac{\pi }{6},\varphi +\frac{\pi }{3}$ がどれも $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ に入ったまま動く。$H(\varphi )$ は上に凸な関数3つの和なので、やはり上に凸だ。上に凸な関数の区間での最小値は端でとるので、$\varphi =0$ と $\varphi =\frac{\pi }{6}$ を調べればよい。どちらも

$$H=\frac{1}{2}\left\{g(0)+g\left(\frac{\pi }{6}\right)+g\left(\frac{\pi }{3}\right)\right\}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\sqrt{3}+1}{2}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$$

で、本解と同じ値になる。$\varphi =0$ と $\varphi =\frac{\pi }{6}$ は、どちらも正方形の1辺が正三角形の1辺に重なる配置を表している。