入試過去問 / 京都大学 2026年度数学(理系)

第5問 2つの正弦曲線が囲む領域を回転させた立体の体積

回転体積分三角関数

出典京都大学令和8年度一般選抜数学(理系) 第5問

問題文は京都大学が公表した試験問題からの引用です。解答・解説はtelvia演習ラボが作成したもので、京都大学が公表したものではありません。

問題

$a$ は $0 < a < π$ を満たす実数とする． $2$ つの関数 $y = sin (x + a)$ と $y = sin (x - a)$ のグラフの， $- \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ の部分が囲む領域を $D_{a}$ とする． $x$ 軸のまわりに $D_{a}$ を $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ．

(35 点)

ヒントを見る

領域は $x$ 軸をまたいでいる。回したときの切り口はどこで穴のない円になり、どこで穴のあいた円になるか。上下の曲線のうち、 $x$ 軸から遠いのはどちらかも調べられるか。

解答・解説

方針

2曲線の差 $2 cos x sin a ≧ 0$ で上下を決め、原点についての対称性から $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ の部分の $2$ 倍にする。下の曲線の符号で区間を分け、切り口が円か円環かに応じて積分する。 $a > \frac{π}{2}$ は $a^{'} = π - a$ の場合に折り返して戻す。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 回転体の体積は、 $x$ 軸に垂直な切り口の面積を積分して求める。この領域は $x$ 軸をまたいでいるので、切り口は場所によって穴のない円になったり、穴のあいた円(円環)になったりする。上下の曲線の符号と、どちらが $x$ 軸から遠いかで区間を分ける。

まず、2つの曲線の上下関係と、領域の対称性を確かめておく。

① 上下関係。

公式和積の公式

sin A - sin B = 2 cos \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}

$sin (x + a) - sin (x - a) = 2 cos x sin a$

$- \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ で $cos x ≧ 0$ 、 $0 < a < π$ で $sin a > 0$ なので、 $y = sin (x + a)$ が上、 $y = sin (x - a)$ が下で、2曲線は $x = \pm \frac{π}{2}$ で交わる。 $U (x) = sin (x + a)$ 、 $L (x) = sin (x - a)$ とおくと、 $D_{a}$ は $L (x) ≦ y ≦ U (x)$ の部分である。

② 原点について対称。 $U (- x) = sin (a - x) = - L (x)$ なので、点 $(x, y)$ が $D_{a}$ に入れば点 $(- x, - y)$ も入る。 $x$ 軸のまわりに回すと、 $x$ と $- x$ での切り口は同じになる。よって、求める体積 $V$ は $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ の部分の $2$ 倍である。

③ 切り口の形。 位置 $x$ での切り口は線分 $L (x) ≦ y ≦ U (x)$ を回したものだ。

$L ≦ 0 ≦ U$ なら、 $x$ 軸から遠いほうの端までを半径とする穴のない円
$0 < L$ なら、半径 $U$ の円から半径 $L$ の円を除いた円環

a=π/3 のときの領域 D_a(塗った部分)。x 軸をまたいでいるので、x 軸のまわりに回すと、切り口は穴のない円になる区間と、穴のあいた円(円環)になる区間がある

④ $0 < a ≦ \frac{π}{2}$ のとき。 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ では $x + a$ が $0$ から $π$ のあいだにあるので、 $U ≧ 0$ 。 $L = sin (x - a)$ は、 $0 ≦ x ≦ a$ で $0$ 以下、 $a ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ で $0$ 以上である。

$0 ≦ x ≦ a$ では、どちらが $x$ 軸から遠いかを比べる。

公式

sin^{2} A - sin^{2} B = sin (A + B) sin (A - B)

$U^{2} - L^{2} = sin^{2} (x + a) - sin^{2} (x - a) = sin 2 x sin 2 a ≧ 0$

$sin 2 x ≧ 0$ で、 $a ≦ \frac{π}{2}$ より $sin 2 a ≧ 0$ なので、半径は $U$ である。よって切り口の面積は、 $0 ≦ x ≦ a$ で $π U^{2}$ 、 $a ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ で $π (U^{2} - L^{2})$ になり

$\frac{V}{2} = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2} (x + a) d x - π \int_{a}^{\frac{π}{2}} sin^{2} (x - a) d x$

⑤ 積分を計算する。 $sin^{2} t = \frac{1 - cos 2 t}{2}$ を使う。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2} (x + a) d x = [\frac{x}{2} - \frac{sin ( 2 x + 2 a )}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{4} + \frac{sin 2 a}{2}$

$\int_{a}^{\frac{π}{2}} sin^{2} (x - a) d x = [\frac{x}{2} - \frac{sin ( 2 x - 2 a )}{4}]_{a}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{4} - \frac{a}{2} - \frac{sin 2 a}{4}$

よって

$V = 2 π (\frac{π}{4} + \frac{sin 2 a}{2} - \frac{π}{4} + \frac{a}{2} + \frac{sin 2 a}{4}) = π (a + \frac{3}{2} sin 2 a)$

⑥ $\frac{π}{2} < a < π$ のとき。 $a^{'} = π - a$ とおくと $0 < a^{'} < \frac{π}{2}$ で

$sin (x + a) = - sin (x - a^{'}), sin (x - a) = - sin (x + a^{'})$

つまり $D_{a}$ は $D_{a^{'}}$ を $x$ 軸について折り返した図形で、回してできる立体は同じだ。よって

$V = π (a^{'} + \frac{3}{2} sin 2 a^{'}) = π (π - a - \frac{3}{2} sin 2 a)$

答えは

$V = ⎩ ⎨ ⎧ π (a + \frac{3}{2} sin 2 a) π (π - a - \frac{3}{2} sin 2 a) (0 < a ≦ \frac{π}{2}) (\frac{π}{2} ≦ a < π)$

$a = \frac{π}{2}$ ではどちらも $\frac{π ^{2}}{2}$ になる。このとき領域は $y = cos x$ と $y = - cos x$ にはさまれた部分なので、 $π \int_{- π /2}^{π /2} cos^{2} x d x = \frac{π ^{2}}{2}$ と一致する。

まとめ: $x$ 軸をまたぐ領域の回転体は、切り口が円か円環かで区間を分ける。対称性で半分にし、 $a ≦ \frac{π}{2}$ では上の曲線が $x$ 軸から遠いことを $sin^{2} A - sin^{2} B$ の形で確かめた。 $a > \frac{π}{2}$ は折り返しで前の場合に戻せる。

発展。 $V$ は $a = \frac{π}{2}$ を境に左右対称で、 $0 < a ≦ \frac{π}{2}$ では $V^{'} = π (1 + 3 cos 2 a)$ となる。最大になるのは $cos 2 a = - \frac{1}{3}$ のとき( $a ≒ 0.955$ )で、 $\frac{π}{2}$ ではない。領域の面積は $\int_{- π /2}^{π /2} 2 cos x sin a d x = 4 sin a$ で $a = \frac{π}{2}$ のとき最大なので、面積が最大のときと体積が最大のときは一致しない。

答

$0 < a ≦ \frac{π}{2}$ のとき $π (a + \frac{3}{2} sin 2 a)$ 、 $\frac{π}{2} ≦ a < π$ のとき $π (π - a - \frac{3}{2} sin 2 a)$

別解

別解: $x$ 軸の下の部分を上に折り返して考える。 回転体は領域の $x$ 軸より下の部分を $x$ 軸について上に折り返し、上の部分と重ねた図形を回したものと同じである。 $D_{a}$ は原点について対称なので、下の部分を $x$ 軸について折り返したものは、上の部分を $y$ 軸について折り返したものに等しい。

したがって、 $0 ≦ x ≦ a$ の区間で折り返した図形の上の端は、 $U (x)$ と $U (- x) = sin (a - x)$ の大きいほうになる。

$sin (a + x) - sin (a - x) = 2 cos a sin x$

なので、 $a ≦ \frac{π}{2}$ ( $cos a ≧ 0$ )なら上の端は $U (x)$ のままで、 $a > \frac{π}{2}$ なら $U (- x)$ のほうが高くなる。本解の④の比較が図の折り返しから読み取れる。

この見方で体積を計算し直すこともできる。 $a ≦ \frac{π}{2}$ のとき、 $a ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ の円環の部分は $U^{2} - L^{2} = sin 2 x sin 2 a$ を使うと

$\frac{V}{2} = π \int_{a}^{2 a} sin^{2} t d t + π sin 2 a \int_{a}^{\frac{π}{2}} sin 2 x d x = π (\frac{a}{2} - \frac{sin 4 a - sin 2 a}{4}) + π sin 2 a \cdot \frac{1 + cos 2 a}{2}$

$sin 2 a cos 2 a = \frac{sin 4 a}{2}$ なので $sin 4 a$ の項は消え、 $\frac{V}{2} = π (\frac{a}{2} + \frac{3}{4} sin 2 a)$ と、本解と同じ値になる。

ポイント

$sin (x + a) - sin (x - a) = 2 cos x sin a ≧ 0$ で上下が決まり、2曲線は $x = \pm \frac{π}{2}$ で交わる。
$x$ 軸をまたぐ区間の切り口は穴のない円で、半径は $x$ 軸から遠いほう。
$a > \frac{π}{2}$ の領域は $a^{'} = π - a$ の領域の折り返しで、体積は同じ。

よくある間違い

切り口をいつも円環 $π (U^{2} - L^{2})$ として計算し、 $x$ 軸をまたぐ区間でも $L^{2}$ を引いてしまう。
$x$ 軸をまたぐ区間で、半径をいつも上の曲線 $U$ と決めつけ、 $a > \frac{π}{2}$ で下の曲線のほうが遠くなることを見落とす。
$a > \frac{π}{2}$ でも $π (a + \frac{3}{2} sin 2 a)$ を答える。 $a$ を $π$ に近づけると値が $π^{2}$ に近づくが、領域は細くなって体積は $0$ に近づくはずなので合わない。