入試過去問 / 京都大学 2026年度数学(理系)

第6問 3枚の札の最大の番号の期待値

期待値確率二項係数

出典京都大学令和8年度一般選抜数学(理系) 第6問

問題文は京都大学が公表した試験問題からの引用です。解答・解説はtelvia演習ラボが作成したもので、京都大学が公表したものではありません。

問題

$n$ は $3$ 以上の整数とする． $1$ から $n$ までの番号が書かれた $n$ 枚の札が袋に入っている．ただし，同じ番号が書かれた札はないとする．この袋から $3$ 枚の札を同時に取り出し，一番大きな番号を $X$ とする． $X$ の期待値を求めよ．

(35 点)

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一番大きい番号が $k$ になるのは、ほかの2枚がどこから取り出されたときか。 $k$ を掛けた形は二項係数の1つにまとめられないか。

解答・解説

方針

$P (X = k) = \frac{_{k - 1} C _{2}}{_{n} C _{3}}$ を求め、 $k \cdot_{k - 1} C_{2} = 3 \cdot_{k} C_{3}$ と直して、二項係数の和の公式 $_{3} C_{3} + \dots +_{n} C_{3} =_{n + 1} C_{4}$ を使う。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $X = k$ となるのは、 $k$ の札を取り出し、残りの2枚を $k$ より小さい番号から取り出すときだ。確率を $k$ の式で書き、 $k \cdot P (X = k)$ を足していく。その和は二項係数の和の公式でまとまる形に直せる。

① $X$ の分布。 $3$ 枚の取り出し方は全部で $_{n} C_{3}$ 通り。 $X = k$ ( $3 ≦ k ≦ n$ )となるのは、 $k$ の札と、 $1$ から $k - 1$ の中の $2$ 枚を取り出す $_{k - 1} C_{2}$ 通りである。

$P (X = k) = \frac{_{k - 1} C _{2}}{_{n} C _{3}}$

② $k$ を掛けた形を整える。

$k \cdot_{k - 1} C_{2} = \frac{k ( k - 1 ) ( k - 2 )}{2} = 3 \cdot_{k} C_{3}$

③ 二項係数の和。

公式

_{3} C_{3} +_{4} C_{3} + \dots +_{n} C_{3} =_{n + 1} C_{4}

$_{k} C_{3} =_{k + 1} C_{4} -_{k} C_{4}$ を $k = 3$ から $n$ まで足すと、隣り合う項が消えてこの式になる( $_{3} C_{4} = 0$ )。

④ 期待値。

$E (X) = k = 3 \sum n k \cdot \frac{_{k - 1} C _{2}}{_{n} C _{3}} = \frac{3 \cdot _{n + 1} C _{4}}{_{n} C _{3}} = 3 \cdot \frac{( n + 1 ) n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{24} \cdot \frac{6}{n ( n - 1 ) ( n - 2 )} = \frac{3 ( n + 1 )}{4}$

たとえば $n = 3$ なら、取り出し方は1通りで $X = 3$ となり、 $\frac{3 \cdot 4}{4} = 3$ と一致する。

まとめ:一番大きい番号が $k$ になる取り出し方を数え、 $k \cdot_{k - 1} C_{2} = 3 \cdot_{k} C_{3}$ と直して、二項係数の和の公式でまとめた。

発展。 $n$ 枚から $r$ 枚取り出したときの最大の番号の期待値は、同じ計算で $\frac{r ( n + 1 )}{r + 1}$ になる。 $r = 1$ なら $\frac{n + 1}{2}$ (1枚の番号の平均)、 $r = n$ なら $n$ で、どちらも当然の値と合う。

答

$E (X) = \frac{3 ( n + 1 )}{4}$

別解

別解:取り出さなかった札の「すき間」の対称性を使う。 取り出した3枚を小さい順に並べると、取り出さなかった $n - 3$ 枚は「1枚目より小さい」「1枚目と2枚目のあいだ」「2枚目と3枚目のあいだ」「3枚目より大きい」の4つのすき間に分かれる。すき間の枚数を $g_{0}, g_{1}, g_{2}, g_{3}$ とすると $g_{0} + g_{1} + g_{2} + g_{3} = n - 3$ で、逆に $0$ 以上の整数の組 $(g_{0}, g_{1}, g_{2}, g_{3})$ を1つ決めると、取り出し方がちょうど1つ決まる。

n=10 で 3・5・9 を取り出した例(赤)。取り出さなかった7枚が、4つのすき間に 2・1・3・1 枚ずつ入る

どの取り出し方も同じ確率なので、どの組 $(g_{0}, g_{1}, g_{2}, g_{3})$ も同じ確率で起こる。組の中で4つの数の順番を入れかえても同じ確率なので、 $g_{0}, \dots, g_{3}$ の期待値はすべて等しい。和が $n - 3$ だから、どれも $\frac{n - 3}{4}$ である。最大の番号は $X = n - g_{3}$ なので

$E (X) = n - \frac{n - 3}{4} = \frac{3 ( n + 1 )}{4}$

和の公式を使わずに、対称性だけで答えが出る。

ポイント

$X = k ⟺ k$ の札と、 $k - 1$ 以下から2枚。確率は $\frac{_{k - 1} C _{2}}{_{n} C _{3}}$ 。
$k \cdot_{k - 1} C_{2} = 3 \cdot_{k} C_{3}$ 。
$_{3} C_{3} + \dots +_{n} C_{3} =_{n + 1} C_{4}$ で和がまとまる。

よくある間違い

$P (X = k)$ を $\frac{_{k} C _{2}}{_{n} C _{3}}$ とし、 $k$ の札自身を残り2枚の候補に入れてしまう。
和 $_{3} C_{3} + \dots +_{n} C_{3}$ を $_{n} C_{4}$ としてしまう。正しくは $_{n + 1} C_{4}$ 。
期待値を1枚取り出すときの平均 $\frac{n + 1}{2}$ と混同する。3枚取り出すと、最大の番号は大きいほうへ寄る。